Con este trabajo se pretende generar la animaci�n por ordenador de un IsoAxis (descrito en el apartado siguiente) como ejemplo de animaci�n cinem�tica de un sistema mec�nico con m�ltiples ligaduras entre los elementos que lo componen y con varios grados de libertad.
El IsoAxis (patente USA n� 3302321) fue descubierto por Wallace Walker en 1958, cuando trabajaba en un proyecto cuyo objetivo era lograr configuraciones estructurales para el papel.
Consiste en un estado bidimensional del papel plegado en una cuadr�cula de sesenta tri�ngulos is�sceles rect�ngulos, formando un anillo tridimensional que puede girar en torno a su centro, sobre si mismo, obteni�ndose un ciclo de configuraciones de apariencia curiosa.
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Figura 1: Desarrollo y perspectiva de un IsoAxis | |
Como se puede apreciar en la figura 1, el sistema est� formado por seis sectores con diez tri�ngulos cada uno, dispuestos a intervalos de 60 � para formar una estructura anular [1]
El primer paso necesario para obtener una descripci�n cinem�tica del IsoAxis es la determinaci�n del n�mero de grados de libertad. Para ello consideraremos un v�rtice cualquiera del sector mostrado en la figura 2; por ejemplo el 0. La posici�n de este punto en el espacio queda fijada por 3 coordenadas; a partir de este punto se puede determinar la posici�n de otro adyacente (5) mediante dos coordenadas adicionales (por ejemplo, dos coordenadas angulares). Los dos puntos as� definidos determinan una recta; con la ayuda de otra coordenada se puede obtener la posici�n del punto que cierra el tri�ngulo (1). Siguiendo esta linea de razonamiento para los puntos 1 a 6 (los puntos 7, 8 y 9 se obtienen por simetr�a) se llega a la conclusi�n de que son necesarias 10 coordenadas para definir la posici�n de todos los puntos.
Figura 2: Sector de IsoAxis
Ahora bien, si se a�aden las restricciones necesarias para que el sector pueda formar parte de un anillo (los puntos 0, 1 y 2 deben estar situados sobre el plano x=sqr(3) y; los puntos 3 a 6 deben estar situados sobre el plano x=0) obtienen 7 ecuaciones, con lo que el n�mero de grados de libertad desciende hasta 3. Fijando la altura de sector en el eje Z (en la figura 3, haciendo que el centro del segmento (4 5) est� situado sobre el eje Y) quedar� un total de 2 grados de libertad.
Definiendo los �ngulos alfa (a), beta (b), gamma (g) y delta (d) como se muestra en la figura 3:
Figura 3: Definici�n de las coordenadas angulares
se pueden tomar delta y alfa como grados de libertad, con lo que el giro del IsoAxis vendr� directamente asociado a la variable delta.
Con esto, las coordenadas de los puntos 0 a 6 vendr�n dadas por:
donde aparecen seis inc�gnitas: y1 , z1 , y2 , z2, b, g.
Estas variables pueden calcularse de forma anal�tica utilizando las ecuaciones que se derivan de las condiciones de perpendicularidad entre segmentos y de distancias entre puntos.
Nota: se utilizara [n m] para designar el segmento que une los v�rtices n y m; y |[n m]| para designar la longitud de dicho segmento.
En primer lugar se deber� calcular el punto 1 utilizando para ello las siguientes ecuaciones:
i. [0 5] . [1 5] = 0
ii. |[1 5]| = sqr(2)
Desarrollando:
iii. y1 ( x0 / sqr(3) + y0 - y5 ) + z1 ( z0 - z5 ) =
= y5 ( y0 - y5 ) + z5 ( z0 - z5 )
iv. ( y1 / sqr(3) )^2 + ( y1 - y5 )^2 + ( z1 - z5 )^2 = 2
Este sistema tiene dos soluciones en (y1,z1) se tomar� aquella que minimice el �ngulo (c 5 1).
Para el caso z0=z5:
y1 = ( y5 ( y0 - y5 ) ) / ( x0 / sqr(3) + y0 -y5 )
x1 = y1 / sqr(3)
z1 = z5 +- sqr ( 2 - x1^2 - ( y1 - y5 )^2 )
En el caso contrario, el sistema puede expresarse de la forma:
v. a y1 + z1 = b
vi. ( y1 / sqr(3) )^2 + ( y0 - u )^2 + ( z1 - v )^2 = 2
donde
a = ( x0 / srq(3) + y0 - y5 ) / ( z0 - z5 )
b = z5 + ( y0 - y5 ) / ( z0 - z5 )
u = y5
v = z5
con lo que es posible obtener y1 en funci�n de (a,b,u,v), quedando:
z1 = b - a y1
x1 = y1 / sqr(3)
Una vez determinadas las coordenadas del punto 1, es posible calcular la posici�n del punto 6, utilizando la condici�n de perpendicularidad:
vii. [1 6] . [5 6] = 0
de donde:
viii. 1 = ( y1 - y5 ) sen g - ( z5 - z1 ) cos g
y6 = y5 + sen g
z6 = z5 + cos g
Existen dos soluciones en gamma, se tomar� aquella que minimice el �ngulo (4 5 6).
El c�lculo del punto 2 es an�logo al del punto 1, sustituyendo el punto 5 por el 4.
El c�lculo del punto 3 es an�logo al del punto 6:
ix. 1 = ( y2 - y4 ) sen b - ( z2 - z4 ) cos b
Con esto quedan determinadas las posiciones de todos los puntos en funci�n de delta y de alfa
Hasta el momento se han calculado las coordenadas de los puntos sin tener en cuenta una serie de restricciones que limitan los valores v�lidos del par�metro a para cada valor de delta.
Estas restricciones provienen de, por una parte la impenetrabilidad de las caras del sector, y por otra, de la necesidad de existencia de soluci�n en las ecuaciones planteadas en el apartado anterior[2].
Algunas de estas restriciones pueden plantearse y resolverse f�cilmente de forma anal�tica; mientras que otras s�lo pueden ser resueltas num�ricamente.
Figura 4: Restricciones para la variable alfa
Para y4 >= 0, la ecuaci�n toma la forma:
1 = A sen a - B cos a
siendo:
A = sqr(3) / sen a
B = -cos d / sen d
con lo que la soluci�n es directa.
La soluci�n para y5 >= 0, es an�loga; mientras que para y5 <= 2 la forma es la misma con:
A = sqr(3) / ( 2 - sen d )
B = -cos d / ( 2 - sen d )
Con estas ecuaciones se puede delimitar el rango de variaci�n de alfa a una zona relativamente estrecha (los valores correspondientes a la zona superior de la soluci�n de y5 <= 2 pueden dar lugar a configuraciones v�lidas pero sin continuidad con las que integran el movimiento normal del IsoAxis).
La soluci�n anal�tica de las restricciones correspondientes a la existencia de soluci�n en las ecuaciones de segundo grado, sin embargo, debe de hacerse de forma num�rica. Los principales problemas que aparecen son el estrecho margen de variaci�n para alfa en la algunas zonas y la aparici�n de vibraciones claramente percibibles en algunas de las variables como consecuencia de m�nimas variaciones del �ngulo alfa.
De hecho, en la zona correspondiente a valores de delta pr�ximos a PI/2, s�lo puede obtenerse soluci�n v�lida para el �ngulo gamma si se permite que la coordenada y4 tome un valor ligeramente inferior a cero (lo que equivale a admitir deformaciones en el modelo "real"). En la figura 5 se puede apreciar la evoluci�n de algunas variables significativas del modelo en funci�n de delta. Los valores de gamma1 y gamma2 corresponden a los valores del �ngulo (4 5 6), expresados en radianes, para las dos soluciones posibles de gamma.
Figura 5: Evoluci�n del sistema
N�tese que las variables y5 e y4, as� como y1 toman valores ligeramente inferiores a cero en ciertos puntos; estos valores deben ser positivos, con lo que la �nica soluci�n es admitir deformaciones en la estructura.
Para la visualizaci�n del modelo se realizaron tres programas entre 1991 y 1994, uno de ellos utilizando el interface RenderMan, lo que permite efectuar un rendering en cualquier m�quina, otro con funciones de la librer�a Starbase de HP, y el �ltimo, utilizando la librer�a gr�fica GL de Silicon Graphics; lo que permite realizar una animaci�n en tiempo real en ciertas m�quinas con hardware espec�fico para c�lculos en 3D.
La animaci�n original se realiz� en 1993 utilizando la versi�n RenderMan sobre MacOS.
Figura 6: Animaci�n (formato QuickTime, 1.2 Mb)
Tambi�n disponible en formato MPG, 1.2 Mb (peor calidad)
Tambi�n disponible en formato avi/divx, 0.5 Mb
El c�digo fuente, que utiliza las librer�as OpenGL, GLUT y libjpeg, se puede obtener en
Binarios pre-compilados:Aparte de las plataformas disponibles, no deber�a ser muy complicado compilarlo en cualquier otra plataforma que soporte GLUT
Nota: Algunos de estos binarios pueden estar linkados din�micamente con librer�as de OpenGL, GLUT y/o jpeg. Si el binario no funciona en su sistema, deber� localizar e instalar las librer�as necesarias.
Nota: Parte del c�digo lo escrib� hace muchos a�os, y no esta demasiado limpio, por lo que no deberia usarse como ejemplo.
Dos direcciones "une balade dans le monde des poly�dres", de Maurice Starck:
[1] Este planteamiento supone una simetr�a que no necesariamente se presentar� en la realidad; ahora bien, la operacion normal del IsoAxis(r) es de hecho sim�trica, y por otra parte, el problema ya es suficientemente complejo de por s� con 1/6 del anillo.
[2]Nota: Como se puede apreciar en las restricciones representadas, existe una zona para valores de delta alrededor de los 90� en la que las curvas y5=0 e y4=0 tienden a delimitar una soluci�n �nica para alfa. En la pr�ctica esta soluci�n resulta no ser v�lida para alguna de las restricciones no anal�ticas; lo que parece significar que el movimiento ideal sin deformaciones del sistema no es posible.
Estudio realizado en 1991, �ltima modificaci�n de �sta p�gina: 16 de Enero de 2004
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